舍入误差

在对位数较多的数进行计算时，为了方便或由于受到计算工具的限制，需要用位数较少的数来代替（有时按照精确度的要求也不必对全部数字进行计算）。于是，就要按一定的规则去掉一个数的某个有效数字以后的数字，并对剩余部分进行调整，使得尽可能接近于原来那个数，这种过程称为舍入。[1]

舍入规则为“0舍1入”，在十进制中通常用四舍五入法，它由以下步骤构成：

（1）确定所需的位数n;

（2）划去第n位以后的所有数字;

（3）若划去的第n+1位数字小于5，则保留第n位数字；若大于5，则第n位数字加1;若等于5，则使第n位数字为偶数。

例如：对0.613、1.979、7.105保留三位有效数字，在舍入后，分别为0.61、1.98、7.10。

在其他记数法中，当最后一位有效数字等于或大于基数的一半时，则前一位进一，否则就舍去。此外，有时也采用只舍不入法等规则。

舍入，亦指按上述规则缩减一个数之位数（即截短一个数）的方法。

“四舍五入”就是指在要保留的数位后的一个数位上的数字大于等于5，就除去末尾，向前进1。小于4，就直接去掉。为什么要发明四舍五入法呢？因为有些运算过程中出现的数过于繁锁，难记又难算，而这个数简直像一串数列，在这种情况下，数列最末尾的一个到几个数对于整上数大小的影响根本微不足道，与其留着，让它影响记忆（录），干扰运算，还不如除掉，用零占位。这样，既简便了运算，又方便了记忆（录），还不大影响数的大小，一举三得。

四舍五入规则是人们习惯采用的一种数字修约规则。

四舍五入规则的具体使用方法是：

在需要保留有效数字的位次后一位，逢五就进，逢四就舍。

例如：将数字2.1875精确保留到千分位（小数点后第三位），因小数点后第四位数字为5，按照此规则应向前一位进一，所以结果为2.188。同理，将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：

0.53664——0.5366

10.2750——10.28

18.06501——18.07

0.58346——0.5835

16.4050——16.40

27.1850——27.18

按照四舍五入规则进行数字修约时，应一次修约到指定的位数，不可以进行数次修约，否则将有可能得到错误的结果。例如将数字15.4565修约为两位有效数字时，应一步到位：15.4565——15（正确）。如果分步修约将得到错误的结果：15.4565——15.457——15.46——15.5——16（错误）。

四舍五入修约规则，逢五就进，必然会造成结果的系统偏高，误差偏大，为了避免这样的状况出现，尽量减小因修约而产生的误差，在某些时候需要使用四舍六入五留双的修约规则。

有些时候四舍五入会造成较大的误差，特别是精度要求比较高的计算或者工程测量中，有时会对结果产生较大影响，此外在日常生活中四舍五入可能会造成资金的浪费，影响企业判断等情况出现，因此出现了一种四舍六入五留双的修约规则。四舍六入五留双规则为了避免四舍五入规则造成的结果偏高，误差偏大的现象出现，一般采用四舍六入五留双规则。

四舍六入五留双规则的具体方法是：

（一）当尾数小于或等于4时，直接将尾数舍去。

例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：

0.53664——0.5366

10.2731——10.27

18.5049——18.500.58344——0.5834

16.4005——16.40

27.1829——27.18

（二）当尾数大于或等于6时，将尾数舍去并向前一位进位。

例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：

0.53666——0.5367

8.3176——8.318

16.7777——16.78

0.58387——0.5839

10.29501——10.30

21.0191——21.02

（三）当尾数为5，而尾数后面的数字均为0时，应看尾数“5”的前一位：若前一位数字此时为奇数，

就应向前进一位；若前一位数字此时为偶数，则应将尾数舍去。数字“0”在此时应被视为偶数。

例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：

0.153050——0.1530

12.6450——12.64

18.2750——18.28

0.153750——0.1538

12.7350——12.74

21.845000——21.84

（四）当尾数为5，而尾数“5”的后面还有任何不是0的数字时，无论前一位在此时为奇数还是偶数，也无论“5”后面不为0的数字在哪一位上，都应向前进一位。

例如将下列数字全部修约为四位有效数字，结果为：

0.326552——0.3266

12.73507——12.74

21.84502——21.85

12.64501——12.65

18.27509——18.28

38.305000001——38.31

按照四舍六入五留双规则进行数字修约时，也应像四舍五入规则那样，一次性修约到指定的位数，不可以进行数次修约，否则得到的结果有可能是错误的。例如将数字10.2749945001修约为四位有效数字时，应一步到位：10.2749945001——10.27（正确）。如果按照四舍六入五留双规则分步修约将得到错误结果：10.2749945001——10.274995——10.275——10.28（错误）。

上舍入即取比该值大的最接近的整数，下舍入即取比该值小的最接近的整数。例如2.8上舍入为3，下舍入为2。-2.8上舍入为-2，下舍入为-3。

舍入误差是指运算得到的近似值和精确值之间的差异。比如当用有限位数的浮点数来表示实数的时候（理论上存在无限位数的浮点数）就会产生舍入误差。舍入误差是量化误差的一种形式。如果在一系列运算中的一步或者几步产生了舍入误差，在某些情况下，误差会随着运算次数增加而积累得很大，最终得出没有意义的运算结果。

增加数字位数可以减少可能会产生的舍入误差，但是位数是有限的，在表示无限浮点数时仍然会产生误差。在用常规方法表示浮点数的情况下，这种误差是不可避免的，但是可以通过设置警戒位来减小。

多步舍入会增加舍入误差，例如数字9.945309在输入时被舍入到小数点后两位（9.95），显示时再舍入到小数点后一位（10.0），舍入误差是0.054691。如果原来的数只经过一步舍入到小数点后一位（9.9），舍入误差仅为0.045309。