拓扑空间
是一个集合和其上定义的拓扑结构组成的二元组。的元素通常称为拓扑空间?的点。而拓扑结构一词涵盖了开集
，闭集
，邻域
，开核，闭包
，导集
，滤子
等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间作出若干种等价的定义。拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了
拓扑空间范畴
，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。设
是一个集合，是一些的子集构成的族，则被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：1.空集和
属于，2.
中任意多个元素的并仍属于，3.
中有限个元素的交仍属于。这时，
中的元素称为点（point），中的元素称为开集（openset）。我们也称是上的一个拓扑。例子实数集
构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。更一般的，n维欧几里得空间
构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这种情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。
任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。
除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lowerlimittopology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间
生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。流形都是一个拓扑空间。
每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的图集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。
每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。
扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对
或者来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。
泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛。
有限补拓扑。设
是一个集合。的所有有限子集的补集加上空集，构成上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的拓扑。可数补拓扑。设
是一个集合。的所有可数子集的补集加上空集，构成上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。如果
是一个序数，则集合是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间生成，此处和是的元素。构造拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
商拓扑可以被如下地定义出来：若
是一个拓扑空间，是一个集合，如果是一个满射，那么获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆向也是开的。可以利用自然投影确定下上的等价类，从而给出拓扑空间上的一个等价关系。Vietoris拓扑
分类依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。
以下假设
为一个拓扑空间。分离公理详细资料请参照
分离公理
以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。拓扑不可区分性
中两个点称为拓扑不可区分的
，当且仅当如下结论之一成立：对
中每个开集，或者同时包含两者，或者同时不包含它们。x的邻域系和y的邻域系相同。
，且。可数公理可分的
称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。第一可数
称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。第二可数
称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。连通性连通
称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。局部连通
称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。完全不连通
称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。道路连通
称为道路连通的，当且仅当其任意两点和，存在从到的道路，也即，存在一个连续映射，满足且。道路连通的空间总是连通的。局部道路连通
称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。单连通
称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射与常数映射同伦。可缩
称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。超连通X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。平庸的
称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。紧性紧性
称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。林德洛夫性质
称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。仿紧
称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。可数紧
称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。列紧
称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。伪紧
称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。可度量化可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是
Urysohn度量化定理
：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。拥有代数结构对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群
乃是一个拓扑空间配上连续映射（群乘法）及（逆元），使之具备群结构。同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。
结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。
拥有序结构拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：
谱空间（spectralspace）上的序结构。
特殊化预序：定义
。常见于计算机科学。分离公理描述主要有下面几条。
T1分离公理空间内任何两个不同的点都各有一个邻域不含另一点。
豪斯多夫分离公理（
分离公理)空间内任何两个不同的点都各有邻域互不相交。正则分离公理空间内每一点以及不含该点的任一闭集都各有邻域互不相交。
全正则分离公理对于空间
内每一点及不含的任一闭集，存在连续映射，使得且对内每一点。正规分离公理空间内任何两个不相交的闭集都各有邻域互不相交。
满足
分离公理的空间叫空间。满足分离公理的空间叫空间或豪斯多夫空间。一个空间如果还满足正则分离公理或全正则分离公理或正规分离公理，则分别称为正则空间，全正则空间和正规空间。各空间之间的蕴含关系可用“崊”表示如下：正规空间崊全正则空间崊正则空间崊空间崊空间。度量空间以及下述的紧空间和放紧空间都是正规空间。