全体自然数被螺旋式吸入黑洞(4,2,1,4)，再以射线(4,2,1,4)射出
1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事：70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换：
如果是个奇数，则下一步变成。
如果是个偶数，则下一步变成。
不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的循环，永远也逃不出这样的宿命。
银河系：黑洞为（4，2，1，4），视界为8，主旋臂为3*5+1=32/2=16
这就是著名的“冰雹猜想”。强悍的2727的归一步数要经过多次剧烈波动的奇偶变换，其路径呈不光滑锯齿
冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过34步骤到达谷底值1。全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9232，达到了原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较，则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人！但是在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外。
验证规律与27形成鲜明对比，2^16是零波动的光滑反比例曲线，呈单调递减
经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具（k,m为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中，16处是第一处分叉，然后是64……以后每隔一节，产生出一支新的支流。自从Conway发现了神奇的27之后，有专家指出，27这个数字必定只能由54变来，54又必然从108变来，所以，27之上，肯定可以出现不亚于2n的强大支流——，然而，27到数列和本流2到数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点，从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把的这一支看作是“干流”。
又称角谷猜想，因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。
数列验证法，此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方法，是以无限的数列来对付无限的自然数。首项偶数，公差是偶数，那么数列上的所有自然数都是偶数，全体数列除于2，如果首项是奇数公差是偶数，那么数列上全体自然数都是奇数，全体乘上3再加1。如果公差是奇数，首项也是奇数，那么第奇数项必定都是奇数则乘上3再加1，第偶数项必定都是偶数，则除于2。如果公差是奇数，首项是偶数，那么第奇数项必定都是偶数，则除于2，第偶数项必定都是奇数，则乘上3再加1。按照这样的计算规则计算下去，会遇到许多新的问题，考验验证者的智商。比如偶数的通项公式是2n，因为都是偶数所以除于2，得到n，这就是自然数。
按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证，第一个被验证的奇数有可能是能被3整除的奇数，也有可能是不能被3整除的奇数。但是，以后，所到达所归结的第二个奇数，以及第三个奇数（假设存在）............整个过程所到达所遇到所归结所访问到的每一个奇数，必定都不能再被3整除了。如果都从从能被3整除的奇数开始验证，路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再被3整除了，最终都能归结于1，那么必定遍历所有的奇数（遍历是离散数学的概念）。如果都从不能被3整除的奇数开始验证，那么路径上所遇到所到达所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被3整除了，最终都归结于1（等于说是漏下能被3整除的奇数没有被验证）。所以在顺向的冰雹猜想验证过程中，可以把能被3整除的奇数都命名为最起始点的奇数，1是终止点的奇数，而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的，1是最起始点的奇数，而能被3整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中，不能被3整除的奇数，都在存在数量无穷多的上一步的奇数，占1/3的比例是能被3整除的奇数，占2/3的比例是不能被3整除的奇数，这一现象都跟自然数的情况出奇地巧合了。这一规律，无论是单个奇数的验证方法，还是等差数列验证法必须遵守。在能被3整除的奇数之前的，只有能被3整除的偶数，没有任何奇数。
这种新的验证方法存在缺陷，就是运算不连续，虽然也可以用于验证爬升或者下降...爬升的时候需要对2进行因式分解......下降的时候需要先把给计算出来....所以比较麻烦.....优点只有一个，那就是当验证到近乎无限爬升的时候....比如说的验证过程就是把一亿个2换成一亿个3，，一次性替换，我们需要把给计算出来，如果按照传统的验证方法，你需要把给算出来，然后再爬升(一亿-1)步以后才能得到这个结果......
把奇数分成2类：
能被3整除的奇数 通项公式是这一类的奇数是不可以通过得到的 又叫最起始点的奇数 这一类的奇数不可能发生 病态归结的，因为从这一类奇数开始计算可以得到其他奇数，而从其他奇数开始计算绝对不能得到这一类的奇数。
再看看他们的最起始点的奇数就不只是能被7整除那么简单了..........
不能被3整除的奇数 通项公式分别是：他们都是可以通过得到的，又叫路径上的奇数或者是过程奇数，有可能，发生主病态归结点的奇数就在这2类之间。
存在，使得之后只能被1个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的；
存在，使得之后只能被2个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的；
存在，使得之后只能被3个2整除，之后就是奇数，这一类奇数占奇数总量的；
............................................
我还在许多猜想的扩题中找到许多相类似的规律，只要是存在逆推定理的猜想扩题就存在本规律
只是连除的规律比较混乱........无法总结出总通项公式
以此类推............从逆推定理四出发，可以很方便地找到，的通项公式
那些方程组的归结数列不是就是，只要把被除数带分别乘与公式-1以后再除3就出来了，,但是新的问题马上来了，存在N组等差数列能进行N步的奇数运算，每一步都能整除于同一个纯偶数，而且之后都是奇数，..........这就叫连除，连除2和4的我都计算出来了，但是连除8 16 32 64 ..........的还没有算出通项公式，其实这类运算往往都是以3来替换相应的纯偶数，首项是拆解意义上的替换，公差则是因式分解意义上的替换.......造成计算困难的原因是：存在数量正无穷多的纯偶数，算不完的.在验证过程中就是以3换8,它可以进行至少3次的替换
比如
为了证明冰雹猜想中是否存在无限爬升的现象，我偶然中发现了这一规律。该规律可以作为直接归结定理的一个推论。
其实，要想研究冰雹猜想的反例的特征是可以从角谷猜想的深度扩展的扩题中找到的，比如3X-1的猜想中的奇数5和7，就是互相归结的另外一种死循环的归结，从5到7，从7到5，从5到7..............没完没了，无法得到1，就算验证1万年也是如此。我已经证明了，像这种2个自然数之间的病态的互相归结 在的猜想中 尽此一个，2个数字，但是这仅仅是主病态归结，因为5和7都不能被3整除，所以存在数量正无穷大的奇数，和相应的偶数，都被它们牵连了，这些自然数都是无法最终归结于1的。究竟那些自然数是被牵连的，那些自然数是不被牵连的，这只有相对应的逆推定理所能做到的了。角谷猜想的原题即使存在反例也是非常巨大的自然数........在来点难度大的，为了证明是否存在这种类似的2个自然数之间互相归结的情况，我首先假设存在2个数字A和B，从A开始算得到B，从B开始算得到A ,根据角谷猜想的规则建立2个2元1次方程组，解得A和B ，得到2组整数组，分别是 其余的解都是分数，这就证明了 角谷猜想的原题 在这个问题上没有反例........绝对不存在2个自然之间的互相归结 而无法得到1.主病态归结点的奇数在数量上是有限是，但是牵连的病态归结点奇数 偶数在数量上都是无限的 虽然只有5和7这2个路径奇数发生了主病态归结，无法得到1的自然数在3x-1的猜想中至少占有自然数总量的多一点点的
像这样的反例，在数量正无穷大的角谷猜想深度扩展题目中有无数多串....有的方程组只能算到一串反例，有的能算到很多串反例........
原题的方程组，至少需要计算 一万个未知数以上的方程组才能知道反例是否存在 一万个未知数以下的方程组已经被我证明了 是绝对不存在反例的
分母式是：只需要考虑 的一瞬间 即可
当分母式的时候是平衡点，都是能整除的，但是不是反例，这个时候方程组的解等于1，..........
如果差值之中有1的话 那么就证明 反例存在 而且可以 找出反例子是多少
有多少个1 就存在多少窜反例
就算没有1 同样存在可能性会出现反例的。比如5x+1的方程组的分母值取3的时候就存在一串3个非最起始点的奇数的解是13——33——83——13——33，.....只要是掉进原来的数就是该类型的反例，一直反复不断，一直到永远......
化简版本也就是猜想是不存在任何反例的，原题在一万个未知数以内的方程组都是绝对不存在反例的，而一万个未知数以上的方程组，人类的大脑是无法计算的，除非依靠电脑来算。
根据普通的奇数与偶数的描述公式法，即偶数是2n，奇数是的描述办法并不符合冰雹猜想的运算。符合冰雹猜想的偶数归结于奇数的逆向描述公式是：偶数这是描述偶数归结于奇数的另外一个公式。同样是一个2维的平面的数列。由2条互相垂直的射线组成的射面状的无穷数列。
我最近致力于反例子的研究，有许多成果，无非3大类，对于的猜想，或者是对于众多的扩展题目，是否存在无限增大的现象，有存在的理由，也有不存在的理由，一时之间难下定论......难度都很大的....这些研究成果有助于该猜想的规律化，更规律化，.....导致奇数在验证过程中爬升的规律已经总结出来了就是以3换2....
函数f(n)通过奇偶迭代织成蜘蛛网，射线为3n+1,螺旋线为(3n+1)/2
一，3x+1猜想的公式f(n)解析延拓至复平面生成无限嵌套的自相似分形：时空对称性
将问题公式化，是解决猜想的必由之路。这是一个迭代公式，有输入，输出，反馈，....。.........(1)这里公式中每一个X 都是奇数，。直到把中的偶数 析出抵消，使得（1）式右边是奇数为止。
如果不是1而是其他奇数，就继续迭代。一直到1为止。
.........(2)二，范例例如，代入公式：结束。
例如， ,代入公式： ；结束。
角谷是说，输入任何一个奇数，直至无穷，经过（1）迭代，都是（2）式等于1。
需要证明两个结论以后才有可能完成：
1，任何一个 进入迭代以后不会回到，就是不会发生循环。如果发生循环，表明是一个反例，否定了角谷猜想。
2，进入迭代以后数值不会发散，就是不会越来越大直至无穷，而是在一个有限的范围内更替。三，倒行逆施
把（2）式中的 .......（3）
使得（3）式 的有：。因为这个是把（3）式反推的结果。
例如：
，； ,，；，；这些 都是等于1。
.......。
.....（4）在（4）式二步到位 的有：......（5）
（5）式这个是把（4）式反推的结果。
例如：
，代入公式（3）需要两步： ；。用（5）式即 。
用（4）式也可以： 。
在（6）式三步使得 的有如下形状：
简化（7）式:
。形的数：因为这个是把（6）式反推的结果。例如需要3步，,
用（7）式：
用（6）式：
四，3x+1猜想为什么会成立？因为（6）式代入（7）式的（8）式，正好分子与分母抵消五，只是一个初等代数问题
只需顺着方向证明即可。现在把n扩展到任意数
（9）式是说对于任何一个n，总有一个数使得分子与分母相等。
把（7）式扩展的任意一个n：
把（10）式代入（9）式，则分子分母刚刚可以抵消。
本章节文章摘自美国中文网王晓明博客，点击：wxmwrk即可查询。也可查询中国科学院智慧火花数学栏目71,76楼。
二，3x+3猜想什么是3x+3猜想猜想，就是说无论X是什么整数，如果是奇数就乘以3再加3，如果是偶数就除以，直到最后都是3。......（1），其中 是指把全部偶数析出。
最后结果一定是： .......。（2）范例
例如:
其中，用了43次迭代回到3：
53——81——123——93——141——213——321——483——363——273——411——309——465——699——525——789——1185——1779——1335——501——753——1131——849——1275——957——1437——2157——3237——4857——7287——2733——4101——6153——9231——1731——1299——975——183——69——105——159——15——3.。
用了40次迭代回到3。为什么必然成立？同猜想一样，代入公式以后，分子分母可以抵消，剩下一个分子3。它跟x+1猜想的化简版本实质上是一样的，只不过是多了一个3而已。克拉茨问题
角谷猜想又叫叙古拉猜想。它的一个推广是克拉茨问题，下面简要说说这个问题：
50年代开始，在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题：任意给定一个自然数x,如果是偶数，则变换成如果是奇数，则变换成.此后，再对得数继续进行上述变换。例如,可以陆续得出如果再做下去就得到循环:再试其他的自然数也会得出相同的结果。这个叫做叙古拉猜想.
上述变换，实际上是进行下列函数的迭代
问题是，从任意一个自然数开始，经过有限次函数C迭代，能否最终得到循环或者等价地说，最终得到1?据说克拉茨(L.Collatz)在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过，因而许多人称之为克拉茨问题。但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题，所以，从此以后也许为了避免引起问题的归属争议，许多文献称之为问题.悬赏征解
克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂，问题就解决了，而2的幂有无穷多个，人们认为只要迭代过程持续足够长，必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决。正是这种信念使得问题每到一处，便在那里掀起一股"问题"狂热，不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题。许多数学家开始悬赏征解，有的500美元，有的1000英镑.数学难题
1972年，普林斯顿大学高等研究院教授JH Conway证明Collatz问题的自然概括是算法不可判定的.1990年，哈佛大学数学研究所教授Kurtz和斯坦福大学高级研究中心教授Simon 证明，上述问题事实上在算术等级中是不可判定的[1].日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆兰(M.Vermeulen)已经对5.6*1013的自然数进行了验证，均未发现反例.2011年，加州大学著名华人数学天才陶哲轩在其研究博客WordPress上写下了这么一段话：“不用说，我没有解决问题，但我更好地理解为什么这个猜想是（a）合理的，（b）不太可能被当前的技术证明，我想我会分享我发现的在这个博客上.”题意如此清晰，明了，简单，连小学生都能看懂的问题，却难到了20世纪许多大数学家。著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一世界难题的时候，竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题。经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家厄特希(P.Erdos)的说法:"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!"有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.
命题证明引理一：若,则
证明：当命题成立，设当时成立，则当时,.证毕.
引理二：若则有从而
证明：证明是显然的，省略.
引理三：若, 则有
证明：省略.
定理一:集合对于变换是封闭的.
证明：对于任意自然数n,若对于,经过若干次偶变换，必然要变成奇数，所以我们以下之考虑奇数的情形，即集合O的情形。对于奇数，首先要进行奇变换，伴随而来的必然是偶变换，所以对于奇数，肯定要进行一次全变换。为了直观起见，我们将奇数列及其全变换排列如下:
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
0 2k-1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101
1 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80 83 86 89 92 95 98 101 104 107 110 113 116 119 122 125 128 131 134 137 140 143 146 149 152
2 3k-2 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76
3 3k-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38
4 3k-2 1 4 7 10 1316 19
5 3k-1 2 5 8
6 3k-2 1 4
7 3k-1 2
8 3k-2 1
第一行经过全变换变成第二行，实际上等于第一行加上一个k,其中的奇数又回到了第一行。以下各行是等差数列交错排列。由于最终都变成了奇数，所以集合O对于变换f(X)是封闭的.定理二
:任何奇自然数经过若干次变换都会变成1.
证明:
我们看到 奇数经过全变换变成为型数,型奇数经过全变换有一半仍然变成型奇数，而另一半型偶数经过除以2有一半变成为型奇数，而3k-2型奇数经过全变换又变成为型数。换句话说不可能经过全变换得到型数.
下面我们只研究奇数经过全变换的性质，因为对于其他偶数经过若干次偶变换，仍然要回到奇数的行列里来.
我们首先证明奇数经过若干次全变换必然会在某一步变成偶数.（冰雹猜想又成奇偶变换猜想，“如果偶数除于2“是把偶数变成奇数的运算，偶数归结于奇数的逆向描述公式是：偶数，这是描述偶数归结于奇数的另外一个公式。“如果奇数乘于3加1”是把奇数变成偶数 的运算，运用直接归结定理2个公式描述了)
设2a0-1是我们要研究的奇数，它经过全变换变成3a0-1,假设它是一个奇数并且等于又经过全变换变成为
所以最后,要使ak是整数，可令(n是奇数).于是.则从经过若干次全变换过程如下:
然后我们证明经过全变换变成偶数的奇数一定大于该偶数经过若干偶变换之后得到的奇数.
设(h为奇数),我们要证明 则有而这是显然的.
定义：以下我们将称呼上述的连续全变换紧接着连续的偶变换的从奇数到另外一个奇数的过程为一个变换链.
接着我们证明奇数经过一个变换链所得的奇数不可能是变换链中的任何中间结果，包括第一个奇数.
若以B(n)表示奇数n的变换次数,m是n经过变换首次遇到的其他奇数，则有。
定理三:其中k是满足的非负整数.
证明:n经过一次奇变换，再经过k次偶变换变成奇数m,得证.
举例来说,定理四
按照角谷猜想的扩展部分，每一道扩展的题目都存在着相对应的几个归结定理，或者可以叫逆向推算定理，对于原题的文字描述是：文字描述是：首先把自然数中能被3或者是能被2整除的自然数都删除掉，剩下的自然数，按照第奇数个第偶数个分成2类，其中第奇数个奇数通项公式是：(6（n-1）+1）把这个式子乘于2^（2m）再减去1之后必定可以被3整除，而且得到的自然数全部是奇数。第偶数个奇数的通项公式是：(6(n-1)+5)把这个式子乘于2^（2m-1）再减去1之后必定可以被3整除而且得到的自然数全部都是奇数。这些公式已经被数学归纳法证明成立，该定理的描述范围是全体奇数，以及3X+1以后的全体偶数。
原题的归结定理公式描述就是：
这是2个2维平面的变差数列，由2条互相垂直的射线组成的射面状的无穷变差数列。已经通过数学归纳法证明，公式成立，可以整除，而且得数全部都是奇数。如果把x1和x2都看成是集合，那么必定存在它们的交集必定是空集，它们的并集必定是全体奇数。等于说是把奇数分成2类，一类是x1，另外的一类是x2，再把以上2个式子移项以后就会得到：。它们的威力在于，该定理可以描述所有的非最起始点的奇数的3x+1的以前的情况....是逆向的描述....通过这个定理，我们可以非常容易地寻找，不能被3整除的奇数的所有上一步的直接归结的情况。这个直接归结定理在分析冰雹猜想的过程中发挥着非常重要的作用。假设我被邀请去参加某次的数学成果研究大会，站在讲台上我就可以说任意给我一个不能被3整除的奇数我都能马上算出，它所有上一步的奇数，也就是在忽略偶数不记录的前提下的所有直接归结于这个奇数的奇数。
x1交x2=空集
x1并x2=全体奇数
正是因为它们是全体奇数所以这个定理在证明过程中无处不在.............
同时对于任意任何一个能被3整除的奇数，都绝对不存在上一步的奇数，都是顺冰雹猜想验证的最起始点的奇数，都是逆向冰雹猜想的终止点的奇数，跟最主归结点的1的情况刚好相反的.
原始克拉茨
二十世纪30年代，克拉茨还在上大学的时候，受到一些著名的数学家影响，对于数论函数发生了兴趣，为此研究了有关函数的迭代问题.
在1932年7月1日的笔记本中，他研究了这样一个函数:
（如果x被3整除 或者 （如果x被3除余1）或者 （如果x被3除余2）则为了便于观察上述迭代结果，我们将它们写成置换的形式:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
1 3 2 5 7 4 9 11 6 ...
由此观察到：对于x=2,3的F迭代产生循环(2,3)
对于x=4,5,6,7,9的F迭代产生循环(5,7,9,6,4).
接下来就是对x=8进行迭代，克拉茨在这里遇到了困难，他不能确知，这个迭代是否会形成循环，也不知道对全体自然数做迭代除了得到上述两个循环之外，是否还会产生其他循环。后人将这个问题称为原始克拉茨问题。现在人们更感兴趣的是它的逆问题:
不难证明,G(x)恰是原始克拉茨函数F(x)的反函数。对于任何正整数x做G迭代，会有什么样的结果呢?
经计算，已经得到下列四个循环:
(1),
因为G迭代与F迭代是互逆的，由此知道,F迭代还应有循环(59,79,105,70,93,62,83,111,74,99,66,44).
G迭代还能有别的循环吗？为了找到别的循环，人们想到了下面的巧妙方法:
由于G迭代使后项是前项的3/2(当前项是偶数时)或近似的3/4(当前项是奇数).如果G迭代中出现循环，比如迭代的第t项at与第s项as重复(t
或等于3/2,或者近似于3/22,因而
这里
即
故
这就是说，为了寻找出有重复的项(即有循环),应求出log23的渐进分数n/m,且m可能是一个循环所包含的数的个数，即循环的长度.
log23展开成连分数后，可得到下列紧缺度不同的渐进分数:
log23≈2/1,3/2,8/5,19/12,65/41,84/53,485/306,1054/665,24727/15601,...
渐进分数2/1表明,31≈22,循环长度应为1.实际上恰存在长度为1的循环(1).
渐进分数3/2表明,32≈23,循环长度应为2.实际上恰存在长度为2的循环(2,3).
渐进分数8/5表明,35≈28,循环长度应为5.实际上恰存在长度为5的循环(4,6,9,7,5).
渐进分数19/12表明,312≈219,循环长度应为12,实际上恰存在长度为12的循环(44,66,...59).
这四个渐进分数的分母与实际存在的循环长度的一致性，给了人们一些启发与信心，促使人们继续考虑：是否存在长度为41,53,306,665,15601,...的循环？令人遗憾的是，已经证明长度是41,53,306的循环肯定不存在，那么，是否会有长度为665,15601,...的循环呢?
F迭代与G迭代究竟能有哪些循环呢？人们正在努力探索中!
函数f(d,n)在复平面内的分形图，黑洞为有理域，蓝色为无理域
核心黑洞为整环，绕核黑洞为整环衍生的有理分式域
对有理函数f=F(d，n)=3n+d，(d，n)∈Q进行路径积分：构造有理域变换: f: Q→Q: L?J?A?B，F=(x，y，z)={∑f(x，y，z)|x=3n+d，y=3n-d，z=n/2，(d，n)∈Q}: L=(x0，y0，z0)={∑f(x0，y0，z0)|d=0，n=0，x0=3×0+0=0，y0=3×0-0=0，z0=0/2=0}?J=（x1，y1，z1）={∑f(x1，y1，z1)|d=1，n=0，x1=3×0+1=1，y1=3×0-1=-1，z1=0/2=0}?A=(x2，y2，z2)={∑f(x2，y2，z2)|d∈Q，n∈Q+，x2=3×1+d，y2=3×1-d，z2=n/2}?B=(x3，y3，z3)={∑f(x3，y3，z3)|d∈Q，n∈Q-，x3=3×(-1)+d，y3=3×(-1)-d，z3=n/2}。
交接处的尖点为拓扑不动点，即两个黑洞的作用奇点
(1)通过路径A进行有理域变换： 【1】(3×1+d1-1)/3=(3×1-d1)/2，d1=1；(3×1-d2-1)/3=(3×1+d2)/2，d2=-1。【2】(3×1-d3)/2=2(3×1+d3)，d3=9/5；(3×1+d4)/2=2(3×1-d4)，d4=-9/5。 【3】3(3×1-d5)+1=2(3×1+d5)，d5=4/5；3(3×1+d6)+1=2(3×1-d6)，d6=-4/5。取d=1，则x2=4，y2=2，可得拓扑循环A=(4，2，1，4)。根据变换法则，取拓扑不动点n=1，则x4=3×1+1=4，y4=3×1-1=2，可得拓扑循环S=(4，2，1，4)=A，所以S同胚于A，因此可得拓扑循环(A，A)，所以A是单连通域，因此正整环上的3n+1变换有且只有拓扑循环A=(4，2，1，4)。函数f(d,n)无穷自同构后生成的无限次回绕的高维空间
分形内部无限放大后的高维空间的三维切丛内窥
(2)通过路径B进行有理域变换： 〈1〉由(1)可知n=-1时本变换等价于(1)，因此d=1，x5=-2，y5=-4，可得拓扑循环B=(-1，-2，-1)，因为-4?B，所以n=-1不是拓扑不动点，不满足变换法则，因此取拓扑不动点n=-2。 〈2〉【1】[3×(-2)-d7-1]/3=[3×(-2)+d7]/2，d7=4/5；[3×(-2)+d8-1]/3=[3×(-2)-d8]/2，d8=-4/5。【2】[3×(-2)-d9]/2=2[3×(-2)+d9]，d9=18/5；[3×(-2)+d10]/2=2[3×(-2)-d10]，d10=-18/5。【3】3[3×(-2)+d11]+1=2[3×(-2)-d11]，d11=1；3[3×(-2)-d12]+1=2[3×(-2)+d12]，d12=-1。取d=1，则x6=-5，y6=-7，可得拓扑循环C=(-5，-14，-7，-20，-10，-5)，根据变换法则，取拓扑不动点n=-14。 〈3〉【1】[3×(-14)-d13-1]/3=[3×(-14)+d13]/2，d13=8；[3×(-14)+d14-1]/3=[3×(-14)-d14]/2，d14=-8。【2】[3×(-14)-d15]/2=2[3×(-14)+d15]，d15=126/5； [3×(-14)+d16]/2=2[3×(-14)-d16]，d16=-126/5。【3】3[3×(-14)+d17]+1=2×[3×(-14)-d17]，d17=41/5；3[3×(-14)-d18]+1=2[3×(-14)+d18]，d18=-41/5。取d=8，则x7=-34，y7=-50，可得拓扑循环D=(-34，-17，-50，-25，-74，-37，-110，-55，-164，-82，-41，-122，-61，-182，-91，-272，-136，-68，-34)，根据变换法则，取拓扑不动点n=-17。 〈4〉 【1】[3×(-17)-d19-1]/3=[3×(-17)+d19]/2，d19=49/5；[3×(-17)+d20-1]/3=[3×(-17)-d20]/2，d20=-49/5。 【2】[3×(-17)-d21]/2=2[3×(-17)+d21]，d21=153/5；[3×(-17)+d22]/2=2[3×(-17)-d22]，d22=-153/5。 【3】3[3×(-17)+d23]+1=2[3×(-17)-d23]，d23=10；3[3×(-17)-d24]+1=2[3×(-17)+d24]，d24=-10。取d=10，则x8=-41，y8=-61，可得拓扑循环E=(-41，-122，-61，……，-41)=D，所以E同胚于D，因此可得拓扑循环(D，D)，所以D是单连通域，因此B，C，D两两同伦，所以负整环上的3n+1变换有B，C，D3个拓扑循环。
结论：整环上的3n+1变换有A，B，C，D4个拓扑循环。
函数f(d,n)自同构形成三维黎曼曲面，交叉线由拓扑不动点集合形成
光的传播路径形象地演绎了函数f(d,n)的自同构模型：三维正交
函数f(d,n)的自同构过程本质上是一对无限次来回环绕的双黑洞系统
