1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√（a^2＋b^2)＋√（c^2＋d^2)≥√［（a－c)^2＋（b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：｜α｜｜β｜≥｜α·β｜，α＝（a1,a2,…，an)，β＝（b1,b2,…，bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α＝λβ（λ∈R）。4、一般形式：（∑ai^2)(∑bi^2)≥（∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…＝an:bn，或ai、bi均为零。1.柯西不等式的特点：左边是平方和的积，简记为方和积，右边是乘积和的平方。2.柯西不等式的直接应用。例：已知x,y满足x+3y=4,求4x2+y2的最小值。分析：方法一，大家看到该题后的直接想法可能是换元，把关于x,y的双元变量变换为关于x或y的一元变量问题，再借助于二次函数的思想可以解决。方法二，由于其结构特征与柯西不等式的形式非常相似。
柯西不等式6个基本公式如下：1、二维形式：（a^2＋b^2）（c^2+d^2）≥（ac+bd）^2。等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√（a^2＋b^2）＋√（c^2＋d^2）≥√[（a－c）^2＋（b－d）^2]。等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=（a1，a2，…，an），β=（b1，b2，…，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。4、一般形式：（∑ai^2）（∑bi^2）≥（∑ai·bi）^2。等号成立条件：a1：b1=a2：b2=…=an：bn，或ai、bi均为零。不等式的性质：1、对称性。2、传递性。3、加法单调性，即同向不等式可加性。4、乘法单调性。5、同向正值不等式可乘性。6、正值不等式可乘方。7、正值不等式可开方。8、倒数法则。
三维柯西不等式（a1*a2+b1*b2+c1*c2)^2<=(a1^2+b1^2+c1^2)(a2^2+b2^2+c2^2）、当且仅当a1/a2=b1/b2=c1/c2时等号成立。 柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。学数学的小窍门1、学数学要善于思考，自己想出来的答案远比别人讲出来的答案印象深刻。2、课前要做好预习，这样上数学课时才能把不会的知识点更好的消化吸收掉。3、数学公式一定要记熟，并且还要会推导，能举一反三。4、学好数学最基础的就是把课本知识点及课后习题都掌握好。
柯西不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。不等式的内容如下图：怎么学好数学数学概念是同学们学习数学和解决问题的起点，如果同学们的基本概念理解不清楚，思考数学问题的过程中肯定容易出现混乱，简单来说数学概念理不好对学习数学有影响，所以同学们应该在老师的指导下理清楚数学概念。学会对概念进行简单的归纳和总结，在具体的数学例子中体会抽象概念。数学只有练习多，成绩才会提高得快，所以老师都会给小学生布置数学作业，而同学们在做作业的时候。有时候就算同类型题目也需要反复练习，主要是考查同学们做题速度和准确率，同学们在做完作业后需要对题目进行深层次思考，如这一道题目考查到的内容、运用到的数学思想和解题技巧等，所以对于老师布置的作业一定要高质量完成。同学们遇到不会做的题目，也不要轻易放弃，要静下心思考，也许灵感突然就到身边了，而且这也是同学们挑战自我的一次机会，能够增强同学们学习数学的自信心，即使最终没有把题目做出来，同学们对这道题也会留下深刻印象。
