对数均值不等式： [L（a，b）=a-blna-lnb（a≠b），a（a=b）]则称[ab≤L（a，b）≤a+b2]为对数平均不等式。对数平均不等式形式上具有对称性，具有数学美。对数平均不等式能有效解决含有[f（x1）-f（x2）x1-x2]型不等式问题和极值点偏移问题。对数函数基本性质：1、过定点(1,0)，即x=1时，y=0。2、当 01时，在(0，+∞)上是增函数。3、对数函数是非奇非偶函数（无论增函数还是减函数都一样），它的反函数指数函数同样也是非奇非偶函数。
对数均值不等式的证明证明过程如下，设f(x)=e^(x-1)– x，f’(x)=e^(x-1)-1，f”(x)=e^(x-1)。f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。所以e^(x-1) ≥ x。设xi>0，i=1，n。算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n，a>0。x/a ≤ e^(x/a-1)。(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a ) ≤ e^(x1/a-1) e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)… e^(xn/a-1)。=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)。=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]。=e^[na/a-n]=e^0=1。所以，(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )。=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1。即(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n。(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n) ≤ a ，即算术平均数大于等于几何平均数。对数均值不等式是什么对数均值不等式公式为Hn≤Gn≤An≤Qn，又称为平均值不等式、平均不等式。是数学中的一个重要公式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数。另外均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。其证明方法有很多，包括数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等。
