我们所熟知的三角行证全等，立体几何若干定理，除此还有很多，如我们所熟知的三线合一定律等等，稍深层次的有物理量等，建议可以买书阅读。没有大家想的那么申奥，全部是一则一则的定理即证明，只要有初中水平就一定能看懂第一章平面几何，高中知识则可看懂立体几何，其中一些较深奥的需要一定学识基础，值得阅读。PS：书店一般没有卖，可到网上购买。（个人建议仅供参考）
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
（1）判定直线在平面内的依据
（2）判定点在平面内的方法
公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线 。
（1）判定两个平面相交的依据
（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （1）确定一个平面的依据
（2）判定若干个点共面的依据
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 （1）判定若干条直线共面的依据
（2）判断若干个平面重合的依据
（3）判断几何图形是平面图形的依据
推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。
立体几何 直线与平面
空 间 二 直 线 平行直线
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线
空 间 直 线 和 平 面 位 置 关 系
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线和平面平行——没有公共点
立体几何 直线与平面
直线与平面所成的角
（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角
（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角
（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直
空间两个平面 两个平面平行 判定
性质
（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（2）垂直于同一直线的两个平面平行
（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角
两平面垂直 判定
性质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内
立体几何 多面体、棱柱、棱锥
多面体
定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
棱锥 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
球
到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。
欧拉定理
简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2
基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果两个平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3： 过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同， 那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、 相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面： 平行、 相交 （2）异面： 异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线， 与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为 ( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、 直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线，平面 叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面， 那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点， 那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 两个平面的位置关系： （1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系： 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行。 两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。 b、相交 二面角 （1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分， 其中每一个部分叫做半平面。 （2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角的取值范围为 [0°，180°] （3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 （4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。 （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角， 就说这两个平面互相垂直。记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 Attention： 二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、 面积射影定理、空间向量之法向量法（ 注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系） 多面体 棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每两个四边形的公共边都互相平行， 这些面围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的性质 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质： （1） 侧棱交于一点。侧面都是三角形 （2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形。 且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形， 并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 正棱锥的性质： （1）各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。 （3） 多个特殊的直角三角形 esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥， 由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直， 则可得第三对也互相垂直。 且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。 Attention： 1、 注意建立空间直角坐标系 2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用 多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2 正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体。 球 attention： 1、 球与球面积的区别 2、 经度（面面角）与纬度（线面角） 3、 球的表面积及体积公式 4、 球内两平行平面间距离的多解性
一.直线与平面平行的（判定）
1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.
2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)
二.平面与平面平行的(判定)
1. 判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
2.关键：判定两个平面是否有公共点
三．直线与平面平行的（性质）
1.性质：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交，那么交线平行于这条直线
四．平面与平面平行的（性质）
1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行
2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行
五：直线与平面垂直的（定理）
1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线（线面垂直→线线垂直）
六.平面与平面的垂直(定理)
1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
(或者做二面角判定)
2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换
七.平面与平面垂直的(性质)
1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行
2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)
以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!!
有六种：
1.定义法。
2.垂面法。
3.射影定理。
4.三垂线定理。
5.向量法。
6.转化法。
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扩展资料：
三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。
1、三垂线定理描述的是PO(斜线)，AO(射影)，a(直线)之间的垂直关系。
2、a与PO可以相交，也可以异面。
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，二射，三证。即几何模型
第一，找平面(基准面)及平面垂线；
第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线；
第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。
1.定理中四条线均针对同一平面而言；
2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系。
用向量证明三垂线定理。
1.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直OA，求证：b垂直PA
证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b向量PA=（向量PO+向量OA）
所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO乘以b）加（向量OA乘以b）=O，
所以PA垂直b。
2.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直PA，求证：b垂直OA
证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为PA垂直b，向量OA=（向量PA-向量PO）
所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA乘以b）减（向量PO乘以b）=0，
所以OA垂直b。
3.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。
向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。
一.直线与平面平行的（判定）
1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.
2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)
二.平面与平面平行的(判定)
1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
2.关键：判定两个平面是否有公共点
三．直线与平面平行的（性质）
1.性质：一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交,那么交线平行于这条直线
四．平面与平面平行的（性质）
1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么他们的交线平行
2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线,实现线线平行
五：直线与平面垂直的（定理）
1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
2.应用：如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线（线面垂直→线线垂直）
六.平面与平面的垂直(定理)
1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
(或者做二面角判定)
2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换
七.平面与平面垂直的(性质)
1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行
2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)
以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!
一、三视图与平面的性质1. 三视图的性质：（长对正、高平齐、宽相等）长对正：主视图和俯视图共同反映了物体左右方向的尺寸.宽相等：俯视图和左视图共同反映了物体前后方向的尺寸.高平齐：主视图和左视图共同反映了物体上下方向的尺寸.2. 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得出以下推论：推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.二、空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系：1. ， ，面面 2. 空间平行关系的判定与性质（1）两直线平行的判定：①平行于同一直线的两直线平行（平行公理）②线面平行，经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行；③两平面平行，被第三个平面截得的两条交线互相平行；④垂直于同一平面的两直线平行. （2）线面平行的判定与性质：判定：①平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则平面外的这条直线与此平面平行；②两平面平行，一平面内任意一条直线都平行于另一平面.性质：若直线与平面平行，则经过此直线的平面与原平面的交线与此直线平行. （3）面面平行的判定与性质：判定：①一平面内的两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行；②垂直于同一直线的两平面平行.性质：两平面平行，一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 3. 空间垂直关系的判定与性质：（1）两直线垂直的判定与性质：判定：①夹角是直角的两直线垂直；②线面垂直，则此直线垂直于此平面内任意一条直线；③三垂线定理、逆定理.性质：空间中的两直线垂直，则其夹角是90°. （2）线面垂直的判定与性质：判定：①一条直线若垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于此平面；②两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面；③一条直线垂直于两平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面；④两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面.性质：若一直线垂直于平面，则此直线垂直于平面内的任意一条直线. （3）面面垂直的判定与性质：判定：①相交且成直二面角的两平面垂直；②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.性质：若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面. 三、空间的角与距离1. 夹角：（求角的步骤：一作、二证、三求）（1）异面直线所成夹角的求法：定义法、平移法、补形法、空间向量法；范围： （2）直线与平面所成夹角的求法：定义法、空间向量法；范围： （3）二面角：作二面角的平面角的方法：定义法、三垂线定理法、垂面法 2. 距离：（求距离的步骤：一作、二证、三求）（1）异面直线距离的求法：定义法，空间向量法.（2）直线与平面距离的求法：直线a与平面 平行，过直线a上任意一点P作平面的垂线，垂足是O，则d=|PO|就是直线a与平面 的距离.（3）平面与平面距离的求法：若平面 ，过平面 内任意一点P向平面 作垂线，垂足为O，则|OP|就是平面 与平面 的距离. 注：上述的三个距离实质上都是点与点之间的距离，常用的求法有：定义法、等积法、空间向量法.四、简单几何体的侧面积及体积：1. 柱、锥、台的侧面积： 其中 （掌握常见几何体的侧面展开图）.2. 柱、锥、台的体积： 其中 ，球的表面积、体积： ， .（球体中运用到的勾股定理： ）.
