学好本节首先会用取点法作出二元一次不等式表示的平面区域以及正确理解线性规划的有关概念，其次是熟练掌握利用图解法处理线性规划问题的三个步骤：
①建立数学模型；
②作可行域；
③平移直线寻求最优解．
知识要点精讲
1．二元一次不等式表示平面区域
不等式ax＋by＋c＞0（或＜0）表示直线ax＋by＋c＝0某一侧的平面区域．
2．线性规划
（1）目标函数：在一定条件下欲达到最大值或最小值问题的函数叫目标函数．
（2）线性约束条件：由x、y的二元一次不等式组成的不等式组，它是对变量x、y的约束条件．
（3）线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
（4）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）．
（5）可行域：所有可行解组迹笭管蝗攮豪归通害坤成的集合．
（6）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
思维整合
【重点】 二元一次不等式表示平面区域和线性规划问题．
由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点（x，y），实数ax＋by＋c的符号相同，
一般地，当c≠0时，常把原点作为特殊点；当c＝0时，常把（0，1）或（1，0）作为特殊点．
线性规划问题的解决步骤为：（1）找出目标函数，列出线性约束条件；（2）作出可行域，平移目标函数的图象；（3）在可行域中找出最优解．
【难点】 建立数学模型，确定可行域，求出最优解，这是线性规划的基本问题，也是较难处理的问题．准确地确定可行域，注意各直线的倾斜程度是突破这一难点的关键．
【易错点】 （1）不会作平面区域；（2）忽视整点问题．
精典例题再现
【解析重点】
例 画出不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域．解法1：先画直线2x＋y－6＝0（画成虚线）．取原点（0，0），代入2x＋y－6，因为2×0＋0－6＝－6＜0，所以，原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，故不等式2x＋y－6＜0表示的区域如图7－4－1所示．即直线2x＋y－6＝0的左下方平面区域，不包含边界．
解法2：∵ a＝2＞0，与不等号的方向相反．
∴ 不等式2x＋y－6＜0表示直线2x＋y－6＝0左侧的区域，且不含边界．
点拨 （1）取特殊点（0，0）来判断区域是最简单的方法．
（2）由于二元一次不等式ax＋by＋c＞0（或＜0）表示的区域是直线ax＋by＋c＝0的某一侧，要断定究竟是哪一侧，可以取直线ax＋by＋c＝0一侧的一点，将它的坐标代入不等式．如果不等式成立，那么这一侧就是该不等式表示的区域；如果不等式不成立，那么直线的另一侧是该不等式表示的区域．一般取（0，0）进行判断。
解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解，它的步骤如下：（1）设出未知数，确定目标函数。（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。（3）由目标函数变形为，所以求z的最值可看成是求直线在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x、y的变化而变化）。（4）作平行线：将直线平移（即作的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（小）值。扩展资料：线性规划基本概念：（1）可行解：把满足约束条件的一组决策变量值 称为该线性规划问题的可行解。（2）可行解集/可行解域：满足约束条件的可行解的全体称为可行解集，在平面上，所有可行解的点的集合称为可行解域。（3）最优解：在可行解集中，使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。参考资料：百度百科-线性规划
单纯形法计算线性规划的步骤：
（1）把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基可行解。
（2）若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
（3）若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
（4）按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件(这时目标函数值不能再改善)，即得到问题的最优解。
（5）若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。现在一般的线性规划问题都是应用单纯形法标准软件在计算机上求解，对于具有10^6个决策变量和10^4个约束条件的线性规划问题已能在计算机上解得。
1，三个约束条件所限定的（x，y）在一个三角形内，三个角的坐标分别是（2，0）（0，1）（1/2，3）（注：三个角的坐标是三个方程分别两两相交的交点）将三组值代入Z，最大的6为最大值，最小-3/2的为最小值
2、根据第一题的方法，很快可以求三个角的坐标分别是（0，2）（3，5）（5，3）
所以最大值为3，最小值为-11。
用文字启发你一下算了
设M，N坐标为（x1,y1） ,(x2,y2)
将y=kx+1代入圆方程 x平方+y平方+my-4=0
整理后得 (1+k^2)x^2+ x(2k+mk)+(m-3)=0
两根之和 x1+x2= -(2k+mk)/(1+k^2)
两根之积 x1*x2= (m-3)/(1+k^2)
M,N关于 x+y=0对称
说明 （y2-y1）/(x2-x1)= 1
(x1+x2)/2+(y1+y2)/2= 0
将 y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入上面2 个式子
得 k=1, x1+x2= -1 代入 两根之和 x1+x2= -(2k+mk)/(1+k^2)
得 m=0
点x.y同时满足3个不等式（x-y+1≥0）.（x≤0).(y≥0).
即 y≤x+1, x≤0, y≥0
2x-y 最小值为-2 在 （-1,0）点取到
引例：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品．每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1h；每生产一件乙产品使用4个B配件，耗时2h．已知该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？问题1：该厂生产什么？怎么生产？设计意图：引导学生读题，完成实际问题数学化的过程．承前一课时，使学生进一步熟练如何从实际问题中抽象出不等式组（约束条件）并用平面区域表示．设甲、乙两种产品每日分别生产x，y件，生产甲产品需满足；生产乙产品需满足；生产时间需满足，从而得出二元一次不等式组：（1）问题2：可能的日安排，什么意思？设计意图：让学生了解日生产方案的数学符号表示，不等式组（1）的整数解的实际意义，并顺势给出“可行解”、“可行域”概念．教学中，可以结合几何画板，让学生“读出”可行解，即可行域中的18个整点：（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；（3，0），（3，1），（3，2）；（4，0），（4，1），（4，2）．对于边界附近的点，如（3，3），（4，3，），（4，4）是否可行域中，需引导学生配合不等式来判断，这将有助于学生手绘解决问题时的慎密思考．问题3：若每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利3万元，如何安排生产利润最大？设计意图：通过添加最优化问题转入对新知识的探究，使学生体会知识生成的自然和线性规划模型的价值． 利润函数模型的建立．设生产利润为z（万元），则z=2x+3y．这是一个二元函数，甲、乙两种产品的数量共同影响生产利润，不是学生熟悉的问题．教学时，可引导学生分别求各种可能安排的利润（列举）：z=？x y z=2x+3y0 0 00 1 3… … …4 1 114 2 14观察得到，当x=4，y=2时，z最大，z的最大值为14万元．引出最优化问题，顺势给出“最优解”概念．问题4：如何看待利润函数的解析式z=2x+3y?设计意图：得出利润函数z=2x+3y后，学生多会与一元函数求最值的问题进行类比，考虑定义域（这里是可行域）的作用，求最值的代数的或几何的方法．在学生活跃的思维中，寻求数形结合思想方法应用的契机．由利润函数的解析式z=2x+3y，视z为常数，则z=2x+3y就是关于x，y的二元一次方程，在平面直角坐标系中，方程z=2x+3y表示斜率为，在y轴上的截距为的一组平行直线（直线是其中的一个代表）．由于z=2x+3y中的（x，y），来自于可行域，所以直线z=2x+3y与可行域有公共点．可追问以下问题：当直线z=2x+3y经过可行域中的哪个（些）点时，z最大？当直线经过可行域中的哪个（些）点时，最大？当直线经过可行域中的哪个（些）点时，与y轴的交点最高？故求z的最大值，可转化为求的最大值，而是直线z=2x+3y在y轴上的截距，只要看直线系z=2x+3y与y轴的交点的最高即可．从（一元）函数的观点来看，z是以直线z=2x+3y与y轴的交点的纵坐标为自变量的（一元）函数．由于y的系数为正，故z是直线的纵截距的增函数，即当直线的纵截距最大（与y轴的交点最高）时，目标函数有最大值．（熟练之后，就不必化直线方程为斜截式了！）问题5：怎样求解线性规划问题？设计意图：通过这个具体例子，让学生梳理问题解决的思路，归纳最优化问题的求解思路：第1步：依题意，列出不等式组第2步：画出可行域（实际上也就找到了可行解）．第3步：依题意，求出目标函数第4步：作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），平移此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值．第5步：求（写）出最优解和相应的最大（小）值．由解得点M的坐标（4，2）．当x=4，y=2时，z最大，zmax=2×4+3×2=14（万元）．教师可作以下示范解答解：设……，依题意，得不等式组：作平面区域（如图），设……，依题意，得目标函数z=2x+3y．作直线2x+3y=0，平移之，经过点M时，z最大．由x=4，x+2y=8得点M的坐标（4，2）．因此，当x=4，y=2时，z最大，zmax=2×4+3×2=14（万元）． 问题6：什么是线性规划问题？设计意图：在学生已经获得感性认识的基础上，给出线性规划的相关概念．在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题．线性规划问题的模型由目标函数和可行域组成，其中可行域是可行解的集合，可行解是满足约束条件的解．使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解．结合本例，让学生思考最优解、可行解、可行域有怎样的关系？教师总结，最优解一定是可行解，可行解的集合即可行域；最优解一般位于可行域的边界上．并进一步概括解线性规划问题的步骤，可简化为5个字：建、画、移、求、答．建：建立线性规划的数学模型（约束条件和目标函数）画：画出线性约束条件所表示的可行域；移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；求：通过解方程组求出最优解；答：回答问题，写出答案． 设计意图：通过目标函数的不同变式，让学生熟悉最优解的求法，尤其是y的系数为负的情况．借助“几何画板”软件集中呈现目标函数的图形变化，能提高课堂效率，建立精准的数形联系．问题7：如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，如何安排生产利润最大？目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（4，2）时，直线与y轴的交点最高，即x=4，y=2时， z取最大值，且zmax=16．问题8：如果每生产一件甲产品获利2万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润最大？目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（2，3）或（4，2）时，直线与y轴的交点最高，即x=2，y=3或x=4，y=2时， z取最大值，且zmax=16．问题9：如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利4万元，如何安排生产利润最大？目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（2，3）时，直线与y轴的交点最高，即x=2，y=3时， z取最大值，且zmax=14．问题10：如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品亏损2万元，如何安排生产利润最大？让学生先猜测；注意：z的最大值→直线z=3x－2y在y轴上的截距－z/2的最小值．目标函数为，直线与y轴的交点的横坐标为．作出直线，并平移，观察知，当直线经过点（4，0）时，直线与y轴的交点最低，即x=4，y=0时， z取最大值，且zmax=12．猜测与实际运算结果相符吗？问题出在哪？教师可借助Exel针对对所有可行解，求出生产利润．x y z=3x－2y0 0 00 1 -2… … …4 1 104 2 8教学时，对于每一种变式，都需要学生首先明确：（1）问题满足的不等式组是什么？对应怎样的可行域？（2）目标函数是什么？对应怎样的直线（系）？（3）求目标函数的最大值，还是最小值？关注对应的直线（系）与y轴的交点的最高点，还是最低点？
